Start Neuigkeiten Aus dem Wundergarten der Polyeder
 
Aus dem Wundergarten der Polyeder PDF Drucken E-Mail


Eine kleine Ausstellung von Norbert Treitz im Grafschafter Gymnasium Moers

Vergangenes Jahres ließ eine kleine Schenkung von Prof. Dr. Norbert Treitz, einen kleinen Wundergarten der mathematischen Welt im Grafschafter Gymnasium Moers entstehen.

Es dient als Ausflug in eine andere Welt der Mathematik und ist wie ein botanischer oder zoologischer Garten zu sehen. Ein Wundergarten mit mancherlei Interessantem, aber auch Verborgenem. Der Besuch ist wohlgemerkt kostenlos und stellt einen kleinen Ausblick in die Vielfalt der Polyeder dar. Viel Spaß beim Besuchen!

Gérald Kämmerer


Aus dem Wundergarten der Polyeder

Eine kleine Ausstellung von Norbert Treitz im Grafschafter Gymnasium Moers

Liebe Besucherinnen und Besucher des Wundergartens der Polyeder!
lassen Sie sich bitte von den beigefügten Informationen und griechischen Zahlwörter für die Flächenzahlen so wenig wie in einem botanischen oder zoologischen Garten von gelehrten Namen  abschrecken! Man muss nichts davon wissen, aber man kann erst einmal ahnen, dass es da vielleicht Interessantes zu wissen gibt. Um Ihnen das zu erleichtern, habe ich viele bunte Farben verwendet und in den Kommentaren erleichtern die Eckenformeln (wie 4.4.4 für den ganz gewöhnlichen Würfel) den Überblick über die Vielfalt sehr.

Ich wünsche Ihnen viel Spaß beim besuchen!
Ihr N. Treitz
und
mit freundlicher Unterstützung von Gerald Kämmerer


Dualität, Schnitt und konvexe Hülle

-
a
b
c
d
e
f

reg. Tetraeder 3.3.3

Würfel 4.4.4

reg. Dodekaeder 5.5.5

arch. Kuboktaeder 3.4.3.4

4-Antiprisma

4-Pyramide


reg. Tetraeder 3.3.3

reg. Oktaeder 3.3.3.3

reg. Ikosaeder 3.3.3.3.3

cat. Rhombendodekaeder c 3.4.3.4

4-Deltoeder

4-Pyramide

Schnitt-Polyeder

reg. Oktaeder 3.3.3.3

arch. Kuboktaeder a 3.4.3.4

arch. Ikosidodekaeder a 3.5.3.5

(qualit. wie 3.4.4.4)

(mit Trapezen)

4-Antiprisma

Konvexe Hülle

Würfel 4.4.4 (= C 3.3.3.3)**

cat. Rhombendodekaeder C 3.4.3.4

cat. Rhombentriakontaeder C 3.5.3.5

(24 Drachen)

(8 Drachen)

(8 Drachen)

** Der Würfel tritt hier als Spezialfall des Rhombenhexaeders auf. Die Pyramiden in Modell f haben das spezielle Verhältnis aus Höhe und Grundseite, bei dem das Schnitt-Polyeder ein gleichkantiges Antiprisma gibt.


Keplers Stella-Octangula

Keplers Stella-Octangula (dargestellt mit grünen und weißen Fäden)ist die Vereinigung zweier gleicher Tetraeder in Dualitätsposition, ihr Schnittkörper ist das reguläre Oktaeder, die konvexe Hülle ein Würfel. Einfache Analoga sind die Quadrat- und die Kubik- aber auch die Dreiecks- und die Tetraederzahlen

Stellaoctan

Würfel-Fünfling im Dodekaeder

Wir gehen von dem weißen Würfel aus und drehen ihn um jede seiner drei Vierteldrehungsachsen um eine Achteldrehung. Dabei bekommen wir jeweils einen neuen Würfel Der ganze Fünfling hat die volle Symmetrie eines Ikosaeders. Einen Würfel-Fünfling finden wir der Dodekaeder-Abteilung, eng verbunden mit einem Tetraeder-Zehnling oder zwei zueinander ebenen-symmetrischen Tetraeder-Fünflingen.
Allerdings können wir das auch andersherum betrachten: Die 60 der Diagonalen im regulären Dodekaeder, deren Längen sich zu denen der Kanten im goldenen Schnitt verhalten, bilden die Kanten von 5 Würfeln.

Dodekaeder2

Reguläres Ikosaeder

das reg. Ikosaeder 3.3.3.3.3 ist das (bei gegebener Kantenlänge) größte konvexe Deltaeder, es ist dual zum reg. Dodekaeder und hat die gleichen Symmetrieeigenschaften.

Ikosaeder im Oktaeder

Acht der 20 Flächen eines reg. Ikosaeders liegen in den Flächen eines reg. Oktaeders. Dabei liegen die 12 Ecken des Ikosaeders auf den 12 Kanten des Oktaeders und teilen sie im goldenen Schnitt. Die jeweils andere Möglichkeit einer solchen Teilung führt zu einem Zwilling des Ikosaeders.

Oktaeder 2

Deltaeder im Dodekaeder

Die Diagonalen dieser Länge im regulären Dodekaeder 5.5.5 bilden zusammen mit den Kanten ein nichtkonvexes Deltaeder aus 60 gleichseitigen Dreiecken. Dabei ist von je einem Fünfeck eine 5-Pyramide nach innen geklappt, deren Spitzen ein reguläres Ikosaeder bilden. Klappt man sie allesamt nach außen, so ist das ebenfalls ein nichtkonvexes Deltaeder, aber die Rollen von Berg- und Talfalten sind vertauscht.

p1060947

Oktaederstumpf

Der halbreguläre (archimedische) Oktaederstumpf hat die Eckenformel 4.6.6 und die volle Symmetrie von Würfel oder (reg.) Oktaeder.
Er ist die Wigner-Seitz-Zelle (Elementarzelle, Einheitszelle) des kubisch-raumzentrierten Gitters und daher ein Raumfüller.
Er lässt sich nicht nur subtraktiv aus einem Oktaeder (der dreifachen Kantenlänge) herstellen, sondern auch durch Addieren von sechs 4-Pyramiden und acht 4-Kuppeln zu einem zentralen Oktaeder. Daher kann er in 32 reg. Tetraeder plus 32 4-Pyramiden zerlegt werden, und sein Volumen ist gleich dem von 96 Tetraedern.
Die Quadrate der Längen der verschiedenen Diagonalen verhalten sich wie die natürlichen Zahlen von 2 bis 10.
grün zentrales Oktaeder, blau Oktaederstumpf, weiß: Kanten zwischen sechs 4-Pyramiden und acht 3-Kuppeln.
Eine Hälfte der 24 Diagonalen des Oktaederstumpfes (4.6.6) einer bestimmten Länge (nämlich Kantenlänge mal Wurzel(7)) sind als Stäbe zwischen Gummifäden gespannt, die seine Kanten bilden. Diese Diagonalen schneiden sich nicht gegenseitig (wohl aber die andere Hälfte dieser 24 Diagonalen dieser Sorte).


Kuboktaeder im Rhombendodekaeder

Die Ecken des 3.4.3.4 sitzen in den Flächenmitten des C 3.4.3

Kuboktaeder (grün)

Das archimedische (halbreguläre) Kuboktaeder ist gleichermaßen ein Stumpf des Würfels (rot) wie des reg. Oktaeders(blau), wobei von deren 12 Kanten nur die Mittelpunkte als Ecken verbleiben. Die Eckenformel ist 3.4.3.4, dual zu ihm ist das (kubische) Rhombendodekaeder C 3.4.3.4

Oktaeder

Rhombendodekaeder (gelb)

Das archimedische Rhombendodekaeder (C 3.4.3.4) ist dual zum Kuboktaeder 3.4.3.4. Es ist die Wigner-Seitz-Zelle des kubisch-flächenzentrierten Gitters (FCC). Dieses hat das für raumfüllende Polyeder maximale Kugelpackungsverhältnis (= Anteil der Innenkugel an der WS-Zelle) 78 %, ebenso wie das hexagonal-dichteste Gitter (HCP). Beide haben die (maximal erreichbare) Koordinationszahl 12, d.h. jedes Atom hat 12 nächste Nachbarn.

Oktaederstumpf2

Übersicht

Hier noch die Stereobilder der Polyeder



Zuletzt aktualisiert am Freitag, den 22. Januar 2010 um 15:36 Uhr